개념 플러스 유형 3-1 답지 (정답과 해설 다운로드)

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개념유형 3-1 교재 종류

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✅ 개념플러스유형 라이트 초등수학 3-1
✅ 개념플러스유형 파워 초등수학 3-1
✅ 개념플러스유형 중학수학 라이트 3-1
✅ 개념플러스유형 중학수학 파워 3-1
✅ 개념플러스유형 탑 중학수학 3-1

※ 개념 정리 후 유형별 문제 풀이 병행

개념유형 3-1 수학 개념 정리

다음은 개념+유형 3-1 중학 수학 교재에서 다루고 있는 주요 개념 및 공식입니다. 교재에서 개념을 숙지한 후, 정리한다는 생각으로 살펴보세요.

제곱근과 실수

✅ 제곱근의 뜻

\(\)어떤 수 \( x \)를 제곱하여 \( a \)가 될 때, \( x \)를 \( a \)의 제곱근이라고 한다.
\( x^2 = a \)일 때 \( x \)는 \( a \)의 제곱근이다.
\( 4 \)의 제곱근: \( 2, -2 \) \(( 2^2 = (-2)^2 = 4 \))

✅ 제곱근의 표현

\( 5 \)의 제곱근 = 제곱하여 \( 5 \)가 되는 수 = \( \sqrt{5} \), \( -\sqrt{5} \)
\( 4 \)의 제곱근 = 제곱하여 \( 4 \)가 되는 수 = \( 2, -2 \ (\sqrt{4}, -\sqrt{4}) \)
\( \sqrt{5} \)는 ‘루트 \( 5 \)’ 또는 ‘제곱근 \( 5 \)’로 읽는다.
\( 5 \)의 제곱근 중에서 \( \sqrt{5} \)는 ‘양의 제곱근’, \( \sqrt{-5} \)는 ‘음의 제곱근’이라 한다.

✅ 제곱근의 개수

양수의 제곱근: 양수와 음수이고 (2개), 이 두 수의 크기는 같다.
\( 5 \)의 제곱근

0의 제곱근: 0 (1개)
음수의 제곱근: 없다. (0개)

✅ 제곱근의 성질과 대소관계

성질 (\( a > 0 \)일 때): \( (\sqrt{a})^2 = a \), \( (-\sqrt{a})^2 = a \), \( \sqrt{a^2} = a \), \( \sqrt{(-a)^2} = a \)
대소관계 (\( a, b > 0 \)): \( a<b \)이면 \( \sqrt{a}<\sqrt{b} \), \( \sqrt{a}<\sqrt{b} \)이면 \( a<b \)

✅ 무리수, 실수, 수직선

무리수: 유리수가 아닌 수 (즉, 순환하지 않는 무한소수 \( \sqrt{5}=2.23606797⋯\))
실수: 현실 세계의 모든 수 = 유리수와 무리수

수직선: 모든 실수는 수직선 위에 표시할 수 있으며, 수직선상의 모든 점은 실수이다.

✅ 실수의 대소관계

두 실수 \( a, b \)에 대하여

\( a-b>0 \)이면 \( a>b \) (수직선에서 \( a \)가 \( b \)의 오른쪽)
\( a-b=0 \)이면 \( a=b \) (수직선에서 같은 점)
\( a-b<0 \)이면 \( a<b \) (수직선에서 \( a \)가 \( b \)의 왼쪽)

근호를 포함한 식의 계산

✅ 제곱근의 곱셈과 나눗셈

\( a>0, b>0 \)일 때,

\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)
\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)

✅ 근호가 있는 식의 변형

\( a>0, b>0 \)일 때,

\( \sqrt{a^2b}= a\sqrt{b} \)
\( \sqrt{\frac{a}{b^2}} = \frac{\sqrt{a}}{b} \)

✅ 분모의 유리화

유리화: 분모에 근호가 있을 때 계산의 편의를 위해 분모를 유리수로 바꿔주는 과정
\( a>0, b>0 \)일 때 \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{b} \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{b} \)

✅ 제곱근의 덧셈과 뺄셈

근호 안의 수가 같을 때: 문자의 덧셈과 뺄셈을 하는 식으로 계산 가능
덧셈: \( m\sqrt{a}+n\sqrt{a} = (m+n)\sqrt{a} \)
뺄셈: \( m\sqrt{a}-n\sqrt{a} = (m-n)\sqrt{a} \)

✅ 근호가 있는 복잡한 식의 계산

괄호가 있으면 분배법칙을 이용하여 괄호를 푼다.
근호 안에 제곱인 인수가 있으면, 제곱근의 성질 \( \sqrt{a^2b} = a\sqrt{b} \)를 이용한다.
분모에 근호가 있으면 분모를 유리화한다.
곱셈, 나눗셈을 먼저 계산한 후 덧셈, 뺄셈을 한다.

다항식의 곱셈과 인수분해

✅ 다항식의 곱셈

\( (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd \)

✅ 곱셈 공식

\( (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \)
\( (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \)
\( (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \)
\( (x+a)(x+b) \) \(= x^2+(a+b)x+ab \)
\( (ax+b)(cx+d) \) \(= acx^2+(ad+bc)x+bd \)

✅ 인수분해

인수분해: 하나의 다항식을 두 개 이상의 단항식이나 다항식의 곱으로 나타내는 것
인수: 다항식을 인수분해 했을 때, 곱해진 각각의 식
공통인수: 다항식의 각 항에 공통으로 들어 있는 인수

✅ 완전제곱식

다항식의 제곱으로 된 식 또는 여기에 상수를 곱한 식
\( (a+b)^2, (x+2)^2, -2(x-3)^2 \)

✅ 인수분해 공식

완전제곱식: \( a^2+2ab+b^2=(a+b)^2, \) \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 \)
합차 공식: \( a^2-b^2 = (a+b)(a-b) \)
합·곱 찾기: \( x^2+(a+b)x+ab \) \(= (x+a)(x+b) \)
크로스 합·곱 찾기: \( acx^2+(ad+bc)x+bd \) \(= (ax+b)(cx+d) \)

✅ 인수분해 공식의 활용

수의 계산: 인수분해 공식을 이용하여 수를 계산하면 편리하다.
식의 값: 주어진 식을 인수분해 한 후, 문자의 값을 대입하면 계산이 빠른 경우가 많다.

이차방정식

✅ 이차방정식

\( x \)에 관한 이차방정식: \( (x\text{에 관한 이차식)} = 0 \)으로 정리되는 모든 방정식
이차방정식의 일반형: \( ax^2+bx+c = 0 \ \) \( (a\neq0, a, b, c\text{는 상수)} \)

✅ 이차방정식의 해

이차방정식 \( ax^2+bx+c = 0 \)을 참이 되게 하는 \( x \)의 값을 ‘해’ 또는 ‘근’이라고 한다.
\( x=1 \)은 \( x^2+3x-4=0 \)의 근이다.
이차방정식을 푸시오 = 이차방정식의 해를 모두 찾으시오

✅ 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이

이차방정식을 정리한다: \(x^2-5x+6=0 \)
좌변을 인수분해 한다: \( (x-2)(x-3)=0 \)
\( AB=0 \)의 성질을 이용하여 해를 구한다: \( x=2 \ \text{또는} \ x=3 \)

✅ 이차방정식의 중근

이차방정식이 중근을 갖는다: 두 개의 근이 서로 같을 때를 의미
중근을 가질 조건: 이차방정식이 \( \text{(완전제곱식)}=0 \)으로 인수분해 될 때

✅ 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이

인수분해 되지 않는 이차방정식 \( 2x^2+3x-1=0 \) 푸는 방법

이차항의 계수를 1로 만든다: \( x^2+\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}=0 \)
상수항을 우변으로 이항한다: \( x^2+\frac{3}{2}x=\frac{1}{2} \)
양변에 \( \left(\frac{\text{x의 계수}}{2}\right)^2 \)를 더한다: \( x^2+\frac{3}{2}x+(\frac{3}{4})^2=\frac{1}{2}+(\frac{3}{4})^2 \)
좌변을 완전제곱식으로 정리한다: \( (x+\frac{3}{4})^2=\frac{17}{16} \)
제곱근의 성질을 이용하여 해를 구한다: \( x=\frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4} \)

✅ 이차방정식의 근의 공식

\( x \)에 관한 이차방정식 \( ac^2+bx+c=0 \ (a\neq 0) \)의 해는

\( x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)
단, \( b^2-4ac \geq0 \)
\( b^2-4ac=0 \)일 땐 중근

✅ 이차방정식의 활용

미지수 정하기 → 이차방정식 세우기 → 이차방정식 풀기 → 확인하기

이차함수와 그 그래프

✅ 이차함수의 뜻

이차함수: 함수 \( y=f(x) \ (y=\text{x에 관한 식}) \)에서 \( f(x) \)가 이차식으로 나타나는 함수
\( y=5x^2+3x+1 \)

✅ 포물선, 축, 꼭지점

모든 이차함수는 그 그래프가 포물선 모양으로 생겼고, 축과 꼭지점을 가진다.

✅ \( y=x^2, y=-x^2 \)의 그래프

\( y=x^2 \) 그래프	\( y=-x^2 \) 그래프

✅ 이차함수 \( y=ax^2 \)의 그래프

\( y \)축을 축으로 하고, 원점을 꼭지점으로 하는 포물선
\( a \)의 절대값이 클수록 그래프의 폭이 좁아짐
이차함수 \( y=-ax^2 \)의 그래프와 \( x \)축에 서로 대칭임

\( y=ax^2+bx+c \) 그래프

✅ 이차함수 \( y= ax^2+q \)의 그래프

이차함수 \( y=ax^2 \)의 그래프를 \( y \)축의 방향으로 \( q \)만큼 평행이동
꼭지점: \( (0, q) \)
축의 방정식: \( x=0 \ \text{(즉, y축)} \)

✅ 이차함수 \( y= a(x-p)^2 \)의 그래프

이차함수 \( y=ax^2 \)의 그래프를 \( x \)축의 방향으로 \( p \)만큼 평행이동
꼭지점: \( (p, 0) \)
축의 방정식: \( x=p \)

✅ 이차함수 \( y= a(x-p)^2+q \)의 그래프

이차함수 \( y=ax^2 \)의 그래프를 \( x \)축의 방향으로 \( p \)만큼, \( y \)축의 방향으로 \( q \)만큼 평행이동
꼭지점: \( (p, q) \)
축의 방정식: \( x=p \)

✅ 이차함수 \( y= ax^2+bx+c \)의 그래프

모든 이차함수는 \( y=a(x-p)^2+q \)의 꼴로 바꾸어 형태와 그 위치를 파악할 수 있다.
\( y=3x^2-6x+1 \)은 \( y=3(x-1)^2-2 \)이므로 \( y=3x^2 \)을 \( x \)축의 방향으로 1, \( y \)축의 방향으로 \( -2 \)만큼 이동한 그래프를 가짐.
\( y \)축 위의 점 \( (0, c) \)를 지난다.

✅ 케이스별 이차함수 식 구하기

꼭지점의 좌표 \( (p, q) \)와 그래프 위의 한 점을 알 때:
\( y=a(x-p)^2+q \)로 식을 세운 뒤, 한 점을 대입하여 \( a \)를 구한다.
축의 방정식 \( x=p \)와 그래프 위의 두 점을 알 때:
\( y=a(x-p)^2+q \)로 식을 세운 뒤, 두 점을 각각 대입하여 \( a \)와 \( q \)를 구한다.
\( x \)축과의 교점 \( (α, 0), (β, 0) \)과 다른 한 점을 알 때:
\( y=a(x-α)(x-β) \)로 식을 세운 뒤, 다른 한 점을 대입하여 \( α \)를 구한다.